Le Triangle
Définition
Un triangle est une figure plane formée par trois points appelés sommets et par les trois segments qui les relient, appelés côtés. Lorsque les sommets sont distincts deux à deux, en chaque sommet, les côtés délimitent un angle intérieur.
Notations
Un triangle est noté par la juxtaposition des lettres qui représentent ses 3 sommets. Dans l'exemple ci-dessus, le triangle peut se nommer ABC.
Un triangle qui possède un angle obtus est appelé triangle obtusangle. Dans le cas contraire, le triangle est appelé triangle acutangle.
Les propriétés d'un triangle
L'inégalité triangulaire
Si les 3 points d'un triangle ne sont pas alignés alors la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
La somme des angles d'un triangle
La somme des angles d'un triangle est égale à 180°.
Le corollaire de cette propriété est qu'un triangle ne peut pas posséder plus d'un angle obtus (supérieur à 90°).
Le corollaire de cette propriété est qu'un triangle ne peut pas posséder plus d'un angle obtus (supérieur à 90°).
Les triangles particuliers
Le triangle plat
Un triangle plat est un triangle dont les 3 sommets sont alignés.
Le triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle ayant deux côtés perpendiculaires.
Le côté opposé à l'angle droit se nomme l'hypoténuse.
Le côté opposé à l'angle droit se nomme l'hypoténuse.
Propriétés spécifiques
Un triangle rectangle satisfait le théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Autrement écrit : AB2 = AC2 + BC2
Le triangle isocèle
Un triangle isocèle est un triangle ayant deux côtés de même longueur.
Propriétés spécifiques
Si un triangle est isocèle, alors ses deux angles à la base sont égaux.
Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.
Le triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur.
Propriétés spécifiques
Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux et mesurent 60°.
L'aire d'un triangle
 |
Soit b, la mesure de la base du triangle et h la mesure de la hauteur du triangle. L'aire du triangle est alors A = |
Les constructions géométriques associées
Les médiatrices
Les médiatrices sont les droites qui passent par le milieu de chaque côté et qui sont perpendiculaires à ces côtés.
Propriétés des médiatrices
Dans un triangle non plat, les médiatrices sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit de ce triangle. Ce centre est généralement noté O ou Ω.
Les hauteurs
Les hauteurs sont les droites qui passent par un sommet et qui sont perpendiculaires au côté opposé.
Propriétés des hauteurs
Dans un triangle non plat, les hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre, généralement noté H.
Les médianes
Une médiane d'un triangle est un segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé.
Propriétés des médianes
Chaque médiane divise le triangle en deux triangles d'aires égales.
Dans un triangle non plat, les médianes sont concourantes en un point qui est le centre de gravité du triangle. Ce centre de gravité est généralement noté G.
Le centre de gravité est situé au 2/3 des médianes en partant du sommet.
Le centre de gravité est situé au 2/3 des médianes en partant du sommet.
Les bissectrices
La bissectrice d'un angle est la demi-droite issue du sommet de l'angle et qui le partage en deux angles de même mesure.
Propriétés des bissectrices
Dans un triangle non plat, les trois bissectrices sont concourantes en un point appelé centre du cercle inscrit (il s'agit du seul cercle tangent aux trois cotés du triangle). Ce point est généralement noté I ou J.